Układy pewników
Zajęliśmy się bardziej szczegółowo "teorią" naszych zadań o charakterze gier, ponieważ dużo jej wniosków ma znaczenie ogólniejsze^ Na przykład bardzo duża część materiału przedstawionego powyżej w punktach 4 i 5 ma duże znaczenie w matematyce.
Powszechnie wiadomo, że arytmetyka, geometria i ogólnie dowolna gałąź matematyki - dowolna tzw. dyscyplina matematyczna - tworzy ścisły, formalny układ logiczny: można w nim wprowadzić dowolne pojęcie tylko wtedy, gdy można je określić (zdefiniować) tak, że definicja ta opiera się wyłącznie na znanych już uprzednio pojęciach, a dowolne twierdzenie jest tylko wtedy słuszne, tylko wtedy może być przyjęte jako prawdziwe, gdy można je ściśle udowodnić na podstawie istniejących już twierdzeń.
Oczywiście tak samo można sprowadzić istniejące już twierdzenia i pojęcia do jeszcze wcześniejszych twierdzeń i pojęć, i tak dalej. Jeśli prześledzimy ten łańcuch wstecz do końca, to dochodzimy do twierdzeń podstawowych, pewników, które orzekają o pewnych relacjach pomiędzy pojęciami podstawowymi. Pojęć podstawowych już nie definiujemy, a pewników nie dowodzimy: wypowiadamy je jako "reguły gry".
Oczywiście, bynajmniej nie dowolnie! Te ,,reguły gry" muszą być w zgodzie z prawami obiektywnej rzeczywistości, w przeciwnym razie matematyka byłaby grą, a nie nauką. Ustanowienie pewników opiera się zatem ostatecznie na doświadczeniu. Właściwe abstrahowanie, opierające się na doświadczeniu - czyli wybór pojęć podstawowych i ustanowienie pewników - ma bardzo duże znaczenie.
W istocie swojej pewniki tworzą podobny układ warunków jak informacje zadania o powiązaniu elementarnym. Tu jednak jest mowa o rozwiązaniu nie jednego jedynego zadania, lecz o rozstrzygnięciu wszystkich problemów, które można w ogóle ująć za pomocą pojęć podstawowych i pewników tego układu pewników.
Z powyższego wynika, że układ pewników jest już wtedy sprzeczny, gdy zdarzy się takie twierdzenie, które i którego zaprzeczenie można także wyprowadzić z układu. Jest jasne, że taki sprzeczny układ pewników jest zupełnie bezużyteczny, nie ma żadnej wartości naukowej. Podstawowym wymogiem w stosunku do dowolnego układu pewników jest jego niesprzeczność.
Brak sprzeczności w różnych dyscyplinach matematycznych wcale jeszcze nie załatwia problemu. Jeszcze dziś jest na przykład otwarte pytami, czy geometria jest wolna od sprzeczności.
Układ pewników (przy założeniu, że jest on nie-sprzeczny) nazywamy zupełnym/ (kategorycznym), gdy każde zagadnienie, które można wyrazić w ramach tego układu, można w nim rozstrzygnąć jednoznacznie. Inaczej mówiąc, musi być możliwe bądź udowodnienie, bądź obalenie twierdzenia (wyrażonego w ramach układu). Jednakże takiego zupełnego układu pewników - powyżej pewnego stopnia złożoności - nie ma.
Wreszcie układ pewników jest redundacyjny wtedy, gdy pewniki nie są od siebie niezależne: występują w nim takie pewniki, które albo w całości, albo w części można wyprowadzić z pozostałych. Wówczas taki pewnik można bądź odrzucić, bądź zastąpić słabszym, a w każdym razie układ pewników można zredukować.
Badanie jakości układów pewników jest podstawowym zagadnieniem matematyki. Tym zajmuje się logika matematyczna - jedna z najbardziej abstrakcyjnych gałęzi matematyki *>. Jest jednak bardzo ciekawe, że nowoczesna technika potrafi bardzo dobrze zastosować tę gałąź nauki mimo jej abstrakcyjności: nowoczesne maszyny liczące nie powstałyby bez logiki matematycznej.
Także ten fakt - wraz z licznymi innymi podobnymi faktami - umacnia w nas przekonanie, że nawet najbardziej abstrakcyjne gałęzie matematyki, które często wydają się sprzeczne z codziennymi poglądami, nie są jakimiś tam grami, samymi dla siebie, lecz zawsze służą do poznania świata.
Co to jest geometria Bolyaia?
Dla ilustracji i uzupełnienia powyższych uwag powiemy parę słów o związku między geometrią Bolyaia a geometrią euklidesową. Najpierw musimy zapoznać się z pewnikiem równoległości Euklidesa.
W swej najprostszej postaci pewnik równoległości Euklidesa orzeka, że do danej prostej a można przeprowadzić przez punkt leżący poza nią jedną jedyną prostą b, która nie przecina prostej a. Jeśli ten pewnik dodamy do
*> Czytelnikowi pragnącemu zapoznać się szerzej z logiką matematyczną zalecamy następujące książki: A. Grzegorczyk: Logika matematyczna, wyd. III, Warszawa 1972; J. Słupecki, L. Borkowski: Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości, Warszawa 1963; W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, wyd. II popr., Warszawa 1974. pozostałych pewnik. W geometrii, to z tak uzyskanego układu pewników można
skonstruować geometrię euklidesową: jest to geometria, którą wszyscy znamy ze szkoły, a którą ludzkość zna od dwóch i pół tysiąca łat.
Przed Janosem Bolyaiem bardzo wielu matematyków starało się udowodnić ten pewnik na podstawie pozostałych. Powodzenie tego przedsięwzięcia oznaczałoby, że pewnik równoległości Euklidesa nie jest niezależny od pozostałych, lecz wynika z nich. W tym przypadku obalenie pewnika Euklidesa prowadziłoby z konieczności do sprzeczności.
Węgier Janos Bolyai i Rosjanin Mikołaj Łobaczewski prawie jednocześnie i niezależnie od siebie, domyślając się, że pewnik Euklidesa jest niezależny od pozostałych *>, po raz pierwszy dokonali odważnego kroku, stanowiącego rewolucję w myśli matematycznej, mianowicie przyjęli za pewnik zaprzeczenie pewnika Euklidesa **>, sprzeczne całkowicie z ówczesnymi poglądami nauk przyrodniczych. Okazało się, że zmieniając jedynie ten jeden pewnik, można skonstruować nowy układ geometryczny; Janos Bolyai opracował tę geometrię dość szczegółowo w swoim dziele pod tytułem Appendix. Odnośnie tej nowej, tzw. geometrii Bolyaia-Łobaczewskiego lub innymi słowy geometrii hiperbolicznej okazało się, że pod względem braku sprzeczności jest ona równoważna geometrii euklidesowej. Jeśli jedna zawiera sprzeczność, to także zawiera ją druga (Bolyai uważał, że geometria euklidesowa jest wolna od sprzeczności w sposób zrozumiały sam przez się). Jeśli zatem geometria euklidesowa jest niesprzeczna, to w układzie pewników pewnik równoległości jest niezależny od pozostałych, nie można go z nich wyprowadzić, gdyż w przeciwnym razie geometria hiperboliczna, stosująca jako pewnik jego zaprzeczenie, także zawierałaby sprzeczność; wówczas jednak, według dopiero co wspomnianego twierdzenia, geometria auklidesowa nie mogłaby być niesprzeczna.
|