Trzej chłopcy
Według warunków zadania wiek trzech chłopców wyraża-ją takie trzy liczby całkowite, których iloczyn jest równy 36
Ponadto słuchacze wiedzieli, ile wynosi suma tych trzech liczb. Tak więc - będąc matematykami - dość szybko rozstrzygali, jakie trójki liczb wchodzą w rachubę. My jednak nie jesteśmy w takiej szczęśliwej sytuacji: nie wiemy, którego to było dnia. Dlatego oczywiście będziemy zmuszeni napisać wszystkie takie trójki liczb, których iloczyn daje 36.
Rozłóżmy zatem 36 na wszystkie możliwe sposoby na iloczyn trzech liczb całkowitych. Aby jednak nie opuścić jednego lub więcej spośród możliwych przypadków, warto to zrobić metodycznie. Napiszemy wszystkie dzielniki liczby 36:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Takie przypadki, które różnią się od siebie tylko kolejnością trzech czynników, możemy przyjąć oczywiście za identyczne. Możemy zatem zastrzec, że trzy czynniki trzeba napisać we wzrastającej kolejności (czyli tak, aby pierwszy był wiekiem najmłodszego, a ostatni wiekiem najstarszego).
Niech pierwszym czynnikiem będzie najpierw 1. Wtedy oczywiście po 1 również następują rozkłady liczby 36 na dwa czynniki - te jednak jest już łatwo napisać: 1-36, 2-18, 3-12, 4-9, 6-6. Zatem:
1-1-36, 1-2-18, 1-3-12, 1-4-9, 1-6-6
Niech teraz pierwszym czynnikiem będzie 2. Po nim będą oczywiście następowały rozkłady liczby 36 : 2 = 18 na dwa czynniki. Są nimi 1-18, 2-9, 3-6. Ale przecież piszemy je po liczbie 2, zatem nie mogą się one rozpoczynać od liczby mniejszej od 2 (w przeciwnym przypadku zdarzałoby się, że otrzymalibyśmy znowu któryś z poprzednich pięciu rozkładów w innej kolejności). Dlatego teraz ważne są tylko dwa ostatnie rozkłady. Napiszemy je po 2:
2-2-9, 2-3-6
Niech teraz pierwszym czynnikiem będzie 3. Po nim będą następowały rozkłady liczby 36 :3 = 12 na dwa czynniki: 1 o 12, 2-6, 3-4. Tak, ale trzeba je napisać po liczbie 3, zatem tylko taki rozkład jest dobry, który zaczyna się co najmniej od 3, czyli tylko ostatni: 3-4. Z tego otrzymujemy poniżej podany rozkład liczby 36:
3-3-4
Więcej rozkładów już nie ma. Mianowicie dalsze mogłyby się rozpocząć tylko od 4, ale według naszego zastrzeżenia dalsze czynniki nie mogą być mniejsze niż 4. Jeśli jednak każdy z trzech czynników jest co najmniej równy 4, to iloczyn wynosi co najmniej 4-4-4 = 64, zatem więcej niż 36. Zatem możliwych jest tylko osiem rozkładów liczby 36 na trzy czynniki, które tu (w oddzielnych wierszach) opisaliśmy.
W zadaniu suma trzech czynników także odgrywa istotną rolę, zatem napiszmy ją przy każdym poszczególnym rozkładzie:
1-1-36, 1 + 1 + 36 = 38, 1-6-6, 1 + 6 + 6 = 13,
1-2-18, 1 + 2 + 18 = 21, 2-2-9, 2 + 2 + 9 = 13,
1-3-12, 1 + 3 + 12 = 16, 2-3-6, 2 + 3 + 6 = 11,
1-4-9, 1 + 4 + 9 ==14, 3 o 3 o 4, 3 + 3 + 4 = 10.
O jakich rozkładach mogli myśleć słuchacze ojca występującego w tym opowiadaniu?
Na podstawie warunków zadania nie potrafili oni ustalić poszczególnych wieków z sumy wieku trojga dzieci. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy istnieją co najmniej dwa różne rozkłady, w których suma trzech liczb jest identyczna.
Przeglądając rozkłady i związane z nimi sumy (pierwszy możemy nawet pominąć, gdyż 38 dni nie ma w żadnym miesiącu) widzimy, że istnieją tylko dwa rozkłady, w których suma trzech liczb zgadza się:
1-6-6, 1 + 6 + 6 = 13, 2-2-9, 2 + 2 + 9 = 13.
Tak więc rozmowa mogła mieć miejsce tylko 13 dnia w danym miesiącu, a trzech chłopców ma albo 1, 6 i 6, albo 2, 2 i 9 lat. W tym drugim przypadku jednakże dwaj młodzi chłopcy musieli by być bliźniakami, zatem nie można by było dwóch starszych posłać na wieś, gdy oczekiwano urodzenia najmłodszego. Tak więc ostatni przypadek nie wchodzi w rachubę. Chłopcy mogą zatem mieć tylko 1, 6 i 6 lat (dwaj starsi są bliźniakami).
Uwaga. Przy zestawianiu iloczynów trójczynnikowych moglibyśmy oprzeć się także na rozkładzie liczby 36 na czynniki pierwszo:
36 =2-2-3-3
Każdy rozkład trójczynników, który nie zawiera tak zwanych dzielników trywialnych (1 lub 36) otrzymamy, jeśli ustawimy te cztery liczby na wszystkie możliwe sposoby w trzech grupach. Oczywiście trzeba tedy oddzielnie utworzyć jeszcze te rozkłady Irójczynnikowe, w których występuje 1 lub 36 (lub ewentualnie obydwie te liczby).
|