Sześciu gniewnych
Z pewnością w tym przypadku rozwiązanie nie jest takie proste jak w poprzednich zadaniach, w których przygotowaliśmy przejrzysty rysunek* garażu i po prostu patrzyliśmy, jaka jest sytuacja. Teraz także moglibyśmy przygotować taki rysunek, nie sądzimy jednak, by ktokolwiek zorientował się w nim. Pomimo to nietrudno pomóc naszemu znajomemu zarządcy.
Czytelnik spostrzegł z pewnością już dawno, że zadania związane z garażami w Bergencji są ściśle powiązane z zadaniami o przyporządkowaniu trzech zbiorów (o powiązaniach elementarnych między trzema zbiorami). Każdy boks garażu znajduje się na skrzyżowaniu dwóch sektorów na danym piętrze. Do każdego boksu należą dwie litery oznaczające warstwy i jedna liczba oznaczająca piętro.
Na rysunku 51.2 do małej kostki zawierającej kulę należą na przykład znaki E, c, 4. Gdybyśmy popatrzyli na jakiś inny boks garażu, to co najmniej jeden spośród znaków odpowiadających mu musiałby się różnić, gdyż te warstwy i te poziomy mają na swoim skrzyżowaniu tylko jeden boks. Jakkolwiek wybierzemy po jednej warstwie z warstw A, B} C, D, E, F oraz a, b, c, d, e, f i po jednym spośród poziomów 1, 2, 3, 4, 5, 6, to na ich skrzyżowaniu znajduje się dokładnie jeden boks.
Wszystko to oznacza, że gdybyśmy wpisali na drzwi wszystkich boksów garażu litery warstw i numer poziomu, to tym samym, ustanowilibyśmy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między trójkami elementów ze zbiorów {A, B, C, D, E, F), {a, b, c, d, e, 1} i {1, 2, 3, 4, 5, 6} a boksami garażu.
Tablica rejestracyjna powstała z trzech widoków garażu odpowiada poprzednio tak często stosowanemu układowi trójtablicowemu. Ta zgodność przejawia się nie tylko w układzie i w napisach, lecz - jak to już widzieliśmy w poprzednich sześciu zadaniach - chodzi tu o coś więcej.
Zadania 45, 46 i 47 z pewnością zwróciły uwagę Czytelnika na to, że jeżeli automat musi wskazać na pewien boks (w którym znajduje się szukany samochód), to wtedy w każdej z jego trzech tablic musi zapalić się jedna żarówka w takich miejscach, aby między nimi zachodziła reguła powiązania. Jeśli z automatu, jako z trójtablico-wego układu, odczytamy, jaką trójkę elementów zbiorów przyjętych w oznaczeniach wyznacza trójka punktów świetlnych spełniających regułę powiązania, to łatwo widać, że otrzymamy dokładnie znak boksu zawierającego samochód.
Tym samym ujawnia się też istota związku między tymi dwoma układami. Budynek garażu w Bergencji jest właściwie siatką sześcienną typu 6X6X6. Nadaje się cna zatem do przedstawienia graficznego trój elementów7 złożonych z elementów trzech sześcioelementowych zbiorów. Jak wiemy, układ trójtablicowy również nadaje się do tego. Zrozumieliśmy zatem, że trzy tablice układu trój-tablicowego są trzema różnymi rzutami siatki sześciennej.
W zadaniu 48 pokazaliśmy, że każde wyłączone pole w układzie trójtablicowym eliminuje sześć możliwości trójek elementów. Tworzą one w ilustracji za pomocą siatki sześciennej - w garażu - korytarz (szyb).
Z pewnością nie było trudno rozpoznać w rozwiązaniu zadania 49 regułę wypełnienia. Tam chcieliśmy tylko na to zwrócić uwagę, że w automacie rejestracyjnym urzeczywistnia się reguła wypełnienia. Na podstawie obecnych wyjaśnień możemy jednak także powiedzieć, że zobaczyliśmy tam nowy dowód reguły wypełnienia.
To samo możemy powiedzieć o związku między zadaniem 50 a regułą przeniesienia. Nie zapomnijmy też o zadaniu 51, które teraz chcemy rozwiązać. Jeżeli samochód jednego z gniewnych ludzi umieściliśmy już w garażu, to tym samym zajęliśmy już jeden poziom i dwie warstwy. Do nich nie może dostać się już żaden z pozostałych samochodów. To oczywiście nie jest niczym innym jak zawężeniem. Zawężenie występuje zatem także w przedstawieniu graficznym za pomocą siatki sześciennej. Patrząc na trzy rzuty na rys. 51.2 możemy spostrzec, że zawężenie pojawia się w tablicy rejestracyjnej tak samo, jak w układzie trójtablicowym.
Samochody gniewnych ludzi trzeba umieścić w siatce sześciennej tak, aby w oznaczeniach każdego ze zbiorów {A, B, C, D, E, F}, {a, b, c, d, e, f} i {1, 2, 3, 4, 5, 6}. To natomiast oznacza, że każdy element może wystąpić tylko jeden raz, zatem przez umieszczenie samochodów według wymogów gniewnych ustanawiamy jednocześnie wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie pomiędzy elementami trzech zbiorów.
Teraz już szybko uporamy się z zadaniem 51. Zauważmy, że na tablicy rejestracyjnej wyłączenia spowodowane rezerwacją miejsc są identyczne z wyłączeniami na rys. 40.1. W zadaniu 40 wyjaśniliśmy już, że przy takich wyłączeniach tylko w jeden jedyny sposób można rozwiązać wzajemne przyporządkowanie trzech zbiorów. Z rysunku 40.6 możemy odczytać, jak to zrobić.
Wszystko to, co ustaliliśmy o przyporządkowaniu między zbiorami sześcioelementowymi a garażami sześcio-poziomowymi, oczywiście tak samo występuje także w przypadku dowolnych zbiorów o n elementach. Wtedy trzeba stosować garaż n-piętrowy, czyli dla siatki kostek jednostkowych sześcian o krawędzi złożonej z n jednostek.
W rozwiązaniu zadania 8 wspomnieliśmy także o przedstawieniu graficznym przyporządkowania zbiorów w siatce sześciennej. Tam już ustaliliśmy, a teraz znowu to powtarzamy, że w przypadku trzech zbiorów jest to właściwie odpowiednik dobrze stosowanego przedstawienia graficznego za pomocą siatki kwadratów, stosowanej w zadaniach o przyporządkowaniu dwóch zbiorów, tyle tylko, że przedstawienie graficzne za pomocą siatki sześcianów ma raczej tylko teoretyczne znaczenie. Zastosowanie tego w praktyce jest niemal niemożliwe. Narysowanie siatki sześcianów tak, jak to na przykład widzieliśmy na rys. 51.2, jest bardzo trudne, a rysunek staje się zupełnie nieprzejrzysty, gdy chcemy na nim zaznaczyć także dalsze
wyniki.
Jak widzieliśmy, jednym wyjściem jest narysowanie trzech odpowiednich specjalnych rzutów siatki sześcianów. Przy ich jednoczesnym wykorzystaniu - w układzie trójtablicowym - można zupełnie dobrze dać sobie radę; oczywiście jeśli opracowaliśmy kilka reguł do tego
celu.
Drugim wyjściem byłaby budowa modelu przestrzennego. Tu już nie potrzeba przedstawienia graficznego, po prostu można zobaczyć, jak sprawy się przedstawiają. Ale do tego potrzebne byłyby przezroczyste kostki lub oko ,,rentgenowskie". Na pierwszy rzut oka nie wydaje się, by to wyjście prowadziło daleko.
Za pomocą pewnej małej innowacji technicznej dojdziemy jednak do celu.
|