Ośmioro uczniów
To zadanie wydaje się również być zadaniem o powiązaniu elementarnym, ale pomiędzy czterema zbiorami (imię, numer klasy, stopień z matematyki, numer kolejny dzielnicy). Stoimy wobec czterowymiarowego zadania o przyporządkowaniu zbiorów. Tak więc metody trójtablicowej w pierwotnej formie nie można stosować: potrzeba by było czterech, parami powiązanych tablic.
Z drugiej jednak strony warunki mają inny charakter, nie są to wyłączenia elementarne i nie można ich rozłożyć na te wyłączenia; dokładniej: rozłożenie ich na wyłączenia elementarne nie wydaje się być celowe. To zadanie trzeba zatem rozwiązać inną metodą niż zadanie III rozdziału.
Nietrudno wpaść na to, jaką metodą. Jest mianowicie szereg warunków, które dają informację tylko odnośnie numerów klas, tylko odnośnie stopni itd. Mamy więc szansę oddzielnego wyjaśnienia, które dziecko chodzi do której klasy, które jaki stopień ma z matematyki, które z nich mieszka w której dzielnicy.
Łatwo zauważyć, że dla wszystkich trzech grup pytań istnieje kilka takich warunków, które pod skomplikowanym ujęciem pokrywają proste fakty:
Liceum składa się z czterech klas, a chłopców i dziewcząt jest też właśnie po czworo, zatem według zasady pudełkowej, sformułowanej w rozwiązaniu poprzedniego zadania, warunki (1) i (2) oznaczają, że
(A) zarówno wśród chłopców jak i wśród dziewcząt po jednym znajduje się w klasie I, II, III i IV.
Warunki (3), (4) i (5) dają ogólne wyjaśnienie o stopniach z matematyki:
Według (3) możliwe są tylko stopnie: 2, 3, 4 oraz 5.
Według (5) każdy stopień może występować co najwyżej dwa razy. Są cztery różne stopnie, każdy występuje co najwyżej dwa razy: to oznacza co najwyżej 8 stopni. Ponieważ jest właśnie 8 dzieci, zatem/każdy stopień musi występować dwa razy, czyli jest po/dwóch uczniów dwójkowych, trójkowych, czwórkowych i piątkowych.
(Tu także zastosowaliśmy tę samą fasadę pudełkową)
Według (4) stopnie te rozkładając się równomiernie
pomiędzy chłopców i dziewczęta. Wszystko to oznacza, że
(B) zarówno pomiędzy chłopcami jak i dziewczętami jest po jednym uczniu (uczennicy) dwójkowym, trójkowym, czwórkowym i piątkowym.
Według (12) jako miejsce zamieszkania możliwe są tylko dzielnice I, II, III, IV, V, VI, VII i VIII, a ponieważ do tych ośmiu dzielnic jest właśnie ośmioro uczniów, zatem - na podstawie (11), jak również według zasady pudełkowej
(C) ośmioro dzieci mieszka w dzielnicach I, .. ., VIII tak, że na każdą dzielnicę przypada jedno dziecko, a na każde dziecko jedna dzielnica.
(A), (B) i (C) w całości zawierają wszystko to, co stwierdzają warunki (1), (2), (3), (4), (5), (11) i (12), zatem 7 ostatnich warunków możemy zastąpić powyższymi trzema. Tak więc pierwotne zadanie o 16 warunkach skróciliśmy do zadania o 12 warunkach. Są nimi: (A), (B), (C), (6), (7), (8), (9), (10), (13), (14), (15), (16).
Na podstawie (A), (B) i (C) zadanie polega na wypełnieniu tablicy z rys. 65.1 za pomocą pokazanego tam "materiału".
Teraz, po pewnej modyfikacji tekstu zadania, możemy już łatwo spostrzec, że pozostałe warunki są zło^ żonymi sformułowaniami bardzo prostych rzeczy.
Na przykład w warunku (9) - jeśli na podstawie (B) rozważymy możliwe stopnie - to najlepsza średnia może wynieść 5, a najgorsza 2. Różnica dowolnych dwóch średnich wynosi zatem co najwyżej 3 i może osiągnąć tę wartość tylko wtedy, gdy pochodzi ona z różnicy 5-2. Zatem (9) właściwie znaczy, że Ania i Gienek otrzymali 5, natomiast Marika i Stefek 2.
Tak samo, według (14) Gienek może chodzić tylko do klasy IV, a na podstawie (15) Kasia mieszka w dzielnicy VIII, Ilonka zaś w dzielnicy I.
Zatem wyczerpaliśmy całkowicie treść warunków (9) i (15).
Niezwykle dużo stwierdza warunek (10). Oznacza on, że numer klasy Ilonki jest większy o 1, a numer klasy Mariki o 2 od numeru klasy Ani. Najstarsza Marika cho-dzi więc do III lub do IV klasy.
Gienek z klasy IV ma piątkę, zatem według (7) dziewczynka z klasy IV ma trójkę. Nie może to więc być Marika. Zatem Marika i - patrz (6) - Franek chodzą do klasy III, Ilonka do II, a Ania do I. Z tego wynika natychmiast, że pozostała spośród dziewcząt Kasia chodzi do klasy IV. Ma ona trójkę.
"Wykorzystaliśmy" warunek (10).
Na podstawie (6) i dotychczasowych wyników okazuje się także, że Franek otrzymał trójką/
Natomiast na podstawie (7) i dotychczasowych wy--ników Gienek mieszka w dzielnicy II.
Wyczerpaliśmy zatem całkowicie treść warunków (6) i (7).
Przeglądając stopnie dziewcząt widzimy, że dla Ilon-ki pozostała czwórka. Tak więc według (8) chłopiec z klasy II musi też otrzymać czwórką. Na podstawie poprzednich wyników może to być tylko Józek.
Wtedy jednak Stefek jest uczniem klasy I.
"Wykorzystaliśmy" także (8).
Teraz znamy już miejsce i właścicieli wszystkich stopni (rys. 65.3). Musimy wyjaśnić jeszcze kilka kolejnych numerów dnelnic na podstawie pozostałych warunków (13), (14) i (16).
W wypełnionej tablicy na rys. 65.3 widać, że dziewczynką z dzielnicy VI musi być Ania; wobec tego dziewczynką z dzielnicy V, występująca w (13), może być tylko Marika. Z tego samego warunku wynika, że Franek mieszka w dzielnicy VII. Następnie według (16) Józek mieszka w dzielnicy III, a dla Stefka pozostała dzielnica IV.
|