Nic nowego pod słońcem
a) Pierwszych pięć rządów zawiera białe pola tylko w pierwszych pięciu kolumnach. Tak więc zadanie rozpada się na dwa niezależne od siebie zadania częściowe; rysun(17.b.1). Jednego jest kwadrat typu 5 X 5 w lewym górnym rogu, a drugiego - podobny kwadrat w prawym dolnym rogu. Obydwa już znamy. Pierwszy jest identyczny z rysunkiem zadania 12b, a drugi z rysunkiem 12c. Zadanie 12ib miało dwa, a zadanie 12c trzy rozwiązania, dlatego obecne zadanie ma 2 * 3 = 6 rozwiązań.
b) Pierwsze trzy rzędy zawierają białe pola tylko w trzech ostatnich kolumnach, ale spośród pozostałych dwa pośrednie zawierają je także tylko w dwóch kolumnach środkowych. Łatwo możemy więc zrozumieć, że zadanie to rozpada się nie tylko na dwa, ale na trzy niezależne od siebie zadania częściowe (rys. 17b.l). Wszystkie trzy zadania już znamy: przy rozwiązywaniu zadania 15a i 15b widzieliśmy, że zadanie reprezentowane przez lewy dolny kwadrat typu 3X3 ma dwa rozwiązania, zadanie przedstawione przez środkowy kwadrat typu 2X2 ma także dwa, a reprezentowane przez prawy górny kwadrat typu 3X3 ma trzy rozwiązania. Z tego wynika, że lewy dolny kwadrat rys. 17b.2 typu 5X5 ma 2*2, a więc całe zadanie ma (2 * 2) ? 3 = 12 rozwiązań.
Ten tok rozumowania można oczywiście tak samo przeprowadzić w każdym innym podobnym przypadku, dlatego też regułę otrzymaną w wyniku rozwiązywania zadania 17b można uogólnić: bez względu na to, na jaką liczbę niezależnych od siebie zadań częściowych rozpada się zadanie o powiązaniu elementarnym, liczba rozwiązań jest zawsze równa iloczynowi liczby rozwiązań zdań częściowych. /
c) Tu też można łatwo stwierdzić, że dwa ostatnie rzędy zawierają białe pola tylko w miejscu przecięcia się z pierwszą i ostatnią kolumną, a więc zadanie razpada się na dwa niezależne zadania częściowe. Jednak ąle ma potrzeby dalszego rozwijania tego wniosku, a to dlatego, że także ten rysunek jest już nam znany. Który Rysunek przypomina on spośród dotychczas poznanych? /Szybko możemy do tego dojść.
Układając kolumny 1, 4, 5, 3, 2 rys. 15a w wymienionej kolejności otrzymamy rysunek właśnie tego zadania. Wobec tego zadanie to ma cztery rozwiązania, podobnie jak zadanie 15a.
d) To zadanie wydaje się być zupełnie nowe, wobec tego zacznijmy je rozwiązywać w zwykły sposób.
Rozwiązanie I. W pierwszym rzędzie kółko oznaczające powiązanie możemy umieścić w pierwszym polu lub ostatnim. Potem już wypełnienie czwartego rzędu i jednocześnie pierwszej lub ostatniej kolumny jest w obydwu przypadkach jednoznaczne i powstaje sytuacja widoczna na rysunku 17d.l lub 17d.2.
Odnośnie wypełnienia pozostałych rzędów i kolumn - nie wiemy więcej niż przed rozpoczęciem wypełniania. Nic się w nich nie zmieniło: każde pierwotnie białe pole jest także teraz białe, niewypełnione.
Dlaczego? Widocznie dlatego, że rząd pierwszy i czwarty tylko w pierwszej i ostatniej kolumnie (a także odwrotnie: pierwsza i ostatnia kolumna tylko w pierwszym i czwartym rzędzie) zawiera białe pole. To zaś oznacza, że zadanie rozpada się na dwa niezależne od siebie zadania częściowe: jedno tworzy pierwszy i czwarty rząd oraz pierwsza i ostatnia kolumna, a drugie - pozostałe rzędy i kolumny.
O tym wszystkim możemy się przekonać także w sposób poglądowy. Umieśćmy czwarty rząd początkowego rysunku (17d) zadania na drugim miejscu (17d.3), potem zaś ostatnią kolumnę także na drugim miejscu. Otrzymamy wtedy rysunek 17d.4. Ten pokazuje nam nie tylko rozpada na niezależne zadania częściowe, ale i to, że mowa jest znów o wariancie zadania 15a otrzymanego przez zamianę rzędów i kolumn: zadanie nasze ma więc (tak samo jak 15a) cztery rozwiązania.
Rozwiązanie II. Kontynuujemy wypełnienie rozpoczętych rysunków zadania. Po wykreśleniu całkowicie wypełnionego pierwszego i czwartego rzędu oraz pierwszej i piątej kolumny pozostaje "zawężone" zadanie widoczne na rysunku 17d.5; to natomiast nie jest nic innego jak zwierciadlane odbicie kwadratu typu 3X3 widocznego w górnej środkowej części rysunku 17c. Nietrudno będzie się domyślić, że jeżeli rzędy rysunku 17c ułożymy w kolejności 5, 2, 1, 4, 3, to otrzymamy właśnie żądany obraz. Zatem zadanie ma również cztery rozwiązania, podobnie jak zadanie 17c.
Uwaga: Przykład 17d pokazuje, że niezależność można zauważyć także wtedy, gdy odpowiednie rzędy i kolumny nie znajdują się obok siebie, lecz są rozproszone między innymi. To jest oczywiste, przecież widzieliśmy, że zadanie w swej istocie pozostaje takie samo również wtedy, gdy zmienimy kolejność rzędów i kolumn. Rozwiązanie następnego zadania pokazuje to jeszcze wyraźniej, w tym zadaniu nieuporządkowanie jest jeszcze większe.
e) Jeżeli zaczniemy od pierwszego rzędu, od razu daje się zauważyć "czwórka" utworzona przez pierwszy i piąty rząd oraz pierwszą i piątą kolumnę.
Pierwszy i piąty rząd zawierają białe pole tylko w pierwszej i piątej kolumnie. Te dwa rzędy i kolumny niezależnie od pozostałych tworzą niezależne zadanie częściowe. Ma ono dwa rozwiązania (17e.l i 17.e.2).
Następstwem "zawężenia" jest rysunek 17e.3. Zaczynając na przykład wypełnienie od drugiego rzędu otrzymujemy dwa nowe rozwiązania częściowe (17e.4 i 17e,5),
Dalsze "zawężenie" pokazuje rysunek 17e.6; z niego przez nieznaczne przestawienie (zamianę drugiego i trzeciego rzędu) otrzymujemy rysunek 17e.7, o którym już wiemy (zadanie 15b), że daje trzy rozwiązania.
Zgodnie z powyższym postępowaniem nasze zadanie ma 2 o 2 o 3 = 12 rozwiązań. Bardziej poglądowe wyobrażenie o trzech niezależnych od siebie zadaniach częściowych możemy otrzymać, jeżeli ich rzędy i kolumny ułożymy obok siebie. Zacznijmy \ od rzędów. Pierwsze zadanie częściowe składa się z rządów 1 i 5, drugie z rzędów 2, 4 i 6 z rysunku 17e.3, a więc z 3, 6 i 8 rzędu rysunku pierwotnego. Ostatnie zadacie częściowe tworzą pozostałe trzy rzędy: 2, 4 i 7. Ułóżmy teraz rzędy w kolejności: 1, 5, 3, 6, 8, 2, 4, 7 (rys. 17e.8). Co się tyczy kolumn, to pierwsze zadanie częściowe składa się z kolumn 1 i 5, drugie - z kolumn 1, 3 i 6 z rysunku 17e.3, czyli z kolumn 2, 4 i 8 pierwotnego rysunku, trzecie zaś - z pozostałych (3, 6, 7). W ten sposób otrzymany rysunek 17e.9 wyraźnie pokazuje, że mowa jest o odmianie zadania b): w górnym lewym rogu można znaleźć środkowy kwadrat typu 2X2 zadania b), w środkowym prawym - po przestawieniu - lewy dolny kwadrat typu 3X3 zadania b), w prawym dolnym rogu zaś - również po przestawieniu - prawy górny kwadrat typu 3X3 zadania b). Dlatego zadanie to ma również 12 rozwiązań, tak jak zadanie b).
|