Dwa warianty
Takie uogólnione zadania możemy często rozwiązać najlepiej w ten sposób, że przeprowadzamy rozwiązanie poprzedniego - specjalnego - zadania, sprawdzając na każdym kroku, co ze sposobu rozumowania pozostaje nadal słuszne, a co nie. ';
a) Jeśli liczba uczestników jest nieparzysta, to w ' zasadzie można tak samo przeprowadzić cały sposób rozumowania i ostateczny wynik pozostaje taki sam: jedyną możliwą kolejnością jest odwrotność kolejności "typowanej".
W przypadku parzystej liczby zawodników sytuacja jest już inna. Załóżmy mianowicie, że w zawodach uczestniczy 10 zawodników, a "typowana" kolejność przedstawia się następująco: l.A, 2.B, 3.C, ŁD, 5.E, 6.F, 7.G, 8.H, 9.J, 10.K
Możemy także teraz wywnioskować, że zawodnicy "wytypowani" na miejsca o nieparzystej kolejności (A,C, E,G,J) w rzeczywistości będą następowali po sobie co dwa miejsca, lecz w odwrotnej kolejności (J,G,E,C,A - rys. 68.1). Jednakże spośród nich dwa skrajne miejsca (A i J) nie są już w całej konkurencji pierwszym i ostatnim; różnica między numerami lokat A i J wynosi 9 - 1 = 8, natomiast w całej konkurencji największa różnica wynosi 10 - 1 = 9. Dlatego teraz nie jest już pewne, czy J,G,E, C,A nadal pozostaną na miejscach o nieparzystej kolejności (1,3,5,7,9): "mogą przesunąć się" także na miejsca o parzystej kolejności.
Tak więc warunkom zadania mogą teraz odpowiadać takie dwie kolejności: l.J, 2.K, 3.G, 4.H, 5.E, 6.F, 7.C, 8.D, 9.A, 10.B
oraz
l.K, 2.J, 3.H, ŁG, 5.F, 6.E, l.D, 8.C, 9.B, 10.A
(Tylko dla unaocznienia przyjęliśmy tu liczbę zawodników równą konkretnie 10. Ogólnie moglibyśmy przyjąć 2n.)
b) Według wyjaśnienia E pozostał w rzeczywistości co najmniej o dwa miejsca za G, C co najmniej o dwa miejsca za E, natomiast A co najmniej o dwa miejsca za C, żulem ostatecznie A pozostał co najmniej o 2 + 2 + + 2 = 6 miejsc za G. Łącznie jest 7 uczestników, zatem jest to tylko wtedy możliwe, gdy G jest 1 zawodnikiem, natomiast A jest 7. I oczywiście miejsca E i C są także bez zmiany: 3 i 5
l.G, 3.E, 5.C, 7.A
Gdybyśmy mianowicie którego z E i C przesunęli bardziej do tyłu, wówczas A trzeba by było przesunąć bardziej do tyłu o co najmniej tyle samo miejsc, to jest jednak niemożliwe, gdyż A jest już przecież ostatni.
Tak samo łatwo zrozumieć, że miejsca o kolejności parzystej mogą być wypełnione tylko jak poprzednio:
2. F, 4. D, 6. B tak, że jedyną możliwą rzeczywistą kolejnością jest teraz
1. G, 2. F, 3. E, 4. D, 5. C, 6. B, 7. A
Uwaga. Powyższy tok myśli opierał się na dwóch bardzo prostych, ale mających podstawowe znaczenie wnioskowaniach:
1. Każda z różnic miejsc G- E, E- C, C - A wynosi co najmniej 2, zatem różnica miejsc G- A, która jest ich sumą, wynosi co najmniej 6. Jednocześnie różnica miejsc dowolnych dwóch spośród 7 zawodników, zatem także G i A, wynosi co najmniej 6. Jeśli coś wynosi co najmniej 6 i co najwyżej 6, to wynosi właśnie 6.
(Jeśli różnicę miejsc oznaczymy przez h, to wspomniane dwa stwierdzenia mają postać
hS6 i h?6
Podstawową własnością tych nierówności jest to, że wtedy h = 6.).
Jak już powiedzieliśmy, każda z różnic miejsc G - E, E - C, C - A wynosi co najmniej 2. Natomiast ich suma wynosi dokładnie 6. Z tego wnioskujemy, że różnice miejsc G - E, E-C, C - A muszą być równe dokładnie 2.
Zastosowaliśmy tu następujący wariant wspomnianej już zasady pudełkowej:
Jeśli w każdym z k pudełek trzeba umieścić co najmniej n obiektów, a do pudełek może się dostać łącznie co najwyżej k-n obiektów, to wtedy jedynym możliwym sposobem rozdziału jest ten, w którym w każdym pudełku umieszczamy dokładnie n obiektów.
|