Czy możemy uogólnić
Uogólnienie w tej postaci nie jest prawdziwe. Trochę za szybko chcieliśmy przygotować jeden szablon.
Z rozwiązania poprzedniego zadania wynikało mianowicie tylko tyle, że w tych szczególnych tablicach do każdego rozwiązania należy drugie rozwiązanie, które otrzymujemy z pierwszego w ten sposób, że każde jego kółko połączeń, oznaczające powiązanie, przenosimy na drugie wolne pole danego rzędu (danej kolumny). Zatem wszystkie kółka połączeń przesunęły się. Nazwijmy tak otrzymane nowe rozwiązanie uzupełniającym do pierwotnego. Tworząc uzupełnienie rozwiązania uzupełniającego otrzymujemy znowu rozwiązanie pierwotne (przesuwamy z powrotem kółka połączeń). Na pierwszy rzut oka wydaje się zatem, że poza tymi dwoma nie jest możliwe żadne inne rozwiązanie. Jednakże to, że z pierwotnego rozwiązania można utworzyć w taki sposób nowe rozwiązanie (uzupełniające), nie oznacza jeszcze, by nie można było utworzyć drugiego nowego rozwiązania w inny sposób. Może istnieć także drugie rozwiązanie, które nie jest uzupełnieniem do pierwotnego. To znaczy, może się zdarzyć, że w pierwotnym rozwiązaniu nie przemieścimy wszystkich kółek połączeń, lecz tylko niektóre i tak powstanie nowe poprawne rozwiązanie tablicy.
W przypadku dwóch tablic z poprzedniego zadania na próżno próbowaliśmy tego, nie udałoby się to nam w żaden sposób. Te zadania - jak to się okazało przy rozwiązywaniu zadań 12a i 12b - mają tylko po dwa rozwiązania i na podstawie rozwiązania poprzedniego zadania te dwa rozwiązania z konieczności muszą być wzajemnymi uzupełnieniami. Jednakże te dwa przykłady nie dowodzą jeszcze niczego.
Jest mianowicie bardzo łatwo przygotować taiką tablicę, której każdy rząd i każda kolumna zawierają do-kładinie po dwa wolne pola, a która to tablica ma więcej rozwiązań niż dwa.
Trochę analizy
1. Oczywiście, ten przeciwny przykład sam w sobie wystarcza do obalenia "uogólnienia" sformułowanego w treści zadania. Możemy jednak spostrzec, że ma ono jeszcze dalszy słaby punkt. Uzupełnienie tworzy nowe rozwiązanie tylko do istniejącego już rozwiązania; ale jeśli zadanie nie ma w ogóle rozwiązania, to wtedy nie ma czego "uzupełniać". Można sobie zatem wyobrazić przypadek rozwiązania 0. Jednakże przykładem przeciwnym takiego typu nie możemy obalić twierdzenie zadania, ponieważ w następnym zadaniu okaże się, że ten typ tablicy (w każdym rzędzie i w każdej kolumnie dokładnie dwa puste pola) ma zawsze rozwiązanie.
2. Uzupełnienie grupuje rozwiązania w pary, zatem rozpatrywany typ tablic ma zawsze parzystą liczbę rozwiązań.
3. Czytelnik, który przeczytał zadanie o niezależnych częściach tablicy i który je trochę pamięta, zauważył zapewne, że przykład przeciwny, obalający domysł sformułowany w zadaniu, skonstruowaliśmy z dwóch niezależnych tablic typu 2X2. Tak samo moglibyśmy połączyć ze sobą "znajome tablice". Tablica ta ma 4 rozwiązania, gdyż przecież do obydwu rozwiązań jednej z niezależnych części możemy dodać obydwa rozwiązania drugiej części. Nie ma żadnej przeszkody, abyśmy zestawili razem trzy tablice o dwóch rozwiązaniach. Tablica ta ma już 2 o 2 o 2 = 23 = = 8 rozwiązań. Tak więc obaliliśmy nasz pochopny domysł zupełnie odmiennym sposobem. Na ich szerszych podstawach oprzemy jednak to obalenie, tym bardziej przekonujemy się, że nasze przypuszczenie, jeśli nawet nie jest słuszne, nie jest zupełnie bezpodstawne.
Weźmy mianowicie pod uwagę, ile rozwiązań miały dotychczas zbadane tablice specjalne. Były takie tablice, które miały 2 rozwiązania. Następnie zbudowaliśmy tablice o 2 o 2 = 22 = 4, 2 o 2 o 2 = 23 = 8 rozwiązaniach. Oczywiście potrafiliśmy skonstruować także tablice o 2 o 2 o o 2 o 2 = 24 = 16 rozwiązaniach, w ogólności o 21 (l = 1, 2,...) rozwiązaniach. Na próżno jednak próbowaliśmy znaleźć tablice o innej liczbie rozwiązań (w obrębie tego specjalnego typu). Tak więc pojawia się nowy pomysł:
Tablica każdego zadania dwuwymiarowego o przyporządkowaniu zbiorów, w której liczba wolnych pól w każdym rządzie i w każdej kolumnie wynosi dwa, ma 2l rozwiązań, gdzie l jest liczbą naturalną (którąś z liczb 1,2,3,...).
Udowodnienie słuszności tego domysłu przeprowadzimy w następnym zadaniu - przy nieco przekształconym tekście, tak aby było ono przystępne także dla tych Czytelników, którzy nie studiują naszej książki w sposób ciągły.
|